הימור לא מחושב

יש דרכים שונות להיכנס להגרלות הלוטו, ובניגוד למה שהיה אפשר לחשוב, מתברר שלא כולן שקולות זו לזו מבחינת תמונת הסיכויים. במתכונת נפוצה של הגרלת הלוטו, על המשתתף לנחש שישה מספרים שונים בתחום שבין 1 ל־45, במטרה לקלוע לששת המספרים שיעלו בגורל. ניחוש המכיל שלושה מספרים נכונים או יותר מזכה בפרס כספי, והתאמה מושלמת בין המספרים בניחוש לבין המספרים הזוכים תקנה למשתתף את הפרס הגדול.

חוקי ההסתברות וזכייה בלוטו:

אחת מדרכי ההשתתפות בהגרלה נקראת לוטו שיטתי, ובמסגרתה רוכש המשתתף חבילה של ניחושים באמצעות מילוי טבלת משחק בודדת. בלוטו שיטתי יש לסמן על גבי הטופס המיועד קבוצה של מספרים, אולם לא שישה מספרים כפי שמופיעים בניחוש לוטו יחיד, אלא שמונה עד 12 מספרים. חבילת הניחושים תכלול את כל השישיות שאפשר להרכיב מן המספרים בקבוצה שסומנה. כך למשל, שחקן הממלא בטופס השיטתי שמונה מספרים, רוכש למעשה הימור על כל אחד מֿ28 ההרכבים של שישה מספרים שאפשר לבנות משמונת המספרים שבחר (ראו: חישוב 1; הביטוי "8 על 6" מייצג את התחשיב של מספר הדרכים לבחירת שישה פריטים מתוך קבוצה בת שמונה פריטים שונים). לוטו שיטתי מוצע לקהל הלקוחות כדרך נוחה להמר באחת על מספר הרכבים גדול באמצעות הליך סימון פשוט וקצר. באיור 1 מוצגת דוגמה לרשימת הניחושים הכלולים בטופס שיטתי.

איור 1: רשימת הניחושים הכלולים בטופס לוטו שיטתי:

חלופה חסכונית אחרת היא המילוי האוטומטי של הטופס – באמצעות מחולל מספרים ממוחשב, המייצר עבור המנחש הרכבים אקראיים בני שישה מספרים. ואולם, בניגוד לרושם שעשוי להתקבל כאילו לוטו שיטתי איננו אלא הליך מילוי שונה באותו משחק מזל, הרי שבפועל מדובר בהימור שנבדל בהתפלגות הסיכויים מהחלופה של ניחושים אקראיים. למעשה, הסיכויים לזכות בפרס כספי באמצעות טופס שיטתי נמוכים באופן ניכר מסיכויי הזכייה באמצעות טופס באותו מחיר, שמילויו אקראי.

כדי להדגים זאת נשווה בין טופס שיטתי שבו מסומנים שמונה מספרים, לעומת החלופה של הימור על 28 סדרות שהפיק מחולל המספרים הממוחשב. יש 8,145,060 הרכבים אפשריים (ראו חישוב 2) של שישה מספרים שונים בין 1 ל־45, וכל אחד מהם מועמד שווה הסתברות לעלות בגורל כניחוש הנכון. הסיכוי של כל הרכב מספרים הוא אפוא 1 ל־8,145,060, ועבור כל אוסף של 28 הרכבים שונים, ההסתברות להכיל את ההרכב הזוכה היא 28 ל־8,145,060 או 1 ל־290,895.

מי שהימר על אותה סדרה בכל הטבלאות, כל ניחושיו יהיו מוצלחים באותה מידה בדיוק
צילום: אימג'בנק

איור 2: הסתברות מצטברת לניחוש מספרים נכונים – מילוי שיטתי לעומת אקראי: ההסתברות לניחוש שיכיל מספרים נכונים, כמספר המצוין או יותר, בקרב 84 ניחושים במשחק לוטו ממתכונת שישה מספרים מתוך 45. השוואה בין מילוי באמצעות טופס שיטתי (תשעה מספרים) לבין מילוי אקראי

כדאי אולי לציין שאם המילוי האקראי הוא אכן אקראי לחלוטין, אזי לטופס השיטתי יש יתרון זעיר בסיכויי הקליעה לניחוש הנכון, משום שהטופס שמילויו אקראי עשוי, בסבירות הקלושה מֿ1 לֿ20 אלף (ראו חישוב 3), להכיל בתוכו אותו הרכב מספרים יותר מפעם אחת, ובמקרה זה יהיו בו פחות מֿ28 הרכבים שונים. אפשר כמובן להימנע מכך אם סורקים את הסימון האקראי לשם השמטה והחלפה של כל הופעה חוזרת, אם תתרחש. עם זאת, כדאי לציין כי הימור כפול על אותה סדרת מספרים לא בהכרח יתברר כבזבוז. בשיטת הפרסים הנהוגה בלוטו מחולק סכום הפרס שווה בשווה בין כל הזכאים לו. זה מכבר התפרסם סיפורו של מנחש, אשר הופתע לגלות בוקר אחד לא רק שהרכב המספרים שלו עלה בגורל, אלא שיש בכיסו שני טפסים שונים עם הניחוש הנכון. מלבדו נמצא עוד זוכה אחד, והודות לזכאות הכפולה הוא גרף לכיסו שני שלישים מהפרס הגדול, במקום מחצית – הבדל של כמה מיליונים.

פירוט חישובים: 

ההבדל בין טופס שיטתי לבין טופס של ניחושים אקראיים מתחיל להתברר כשבוחנים את הסיכוי לקלוע לחמישה מספרים נכונים מתוך השישה. ההסתברות שהטופס השיטתי יכיל הרכב של חמישה מספרים נכונים או יותר היא 1 ל־3,879 (ראו: חישוב 4), בעוד ההסתברות שהטופס המסומן אקראית יכיל הרכב כזה גבוהה יותר מפי שלושה, ועומדת על 1 לֿ1,238 (ראו: חישוב 5). המגמה בולטת עוד יותר כאשר מדובר בפחות ניחושים נכונים: ההסתברות של שלושה מספרים נכונים או יותר בלפחות אחד מ־28 הניחושים היא 1 ל־17 בטופס השיטתי, לעומת כמעט 1 ל־2 (0.49) בטופס שמולא אקראית. כפי שעולה מטבלה 2, הפער אף מחריף כאשר נוקטים במשחק השיטתי בהיקף רחב יותר, ומסמנים בטופס ההימור קבוצה של תשעה מספרים (מילוי שמשמעותו שליחה של 84 ניחושים).

באיזו שיטה הוא השתמש?
צילום: אימג'בנק

לוטו שיטתי כהימור מרוכז

כדי לעמוד על מקור הפער בסיכויי הזכייה בין הגרסה השיטתית לבין המילוי האקראי, יש להפנות את תשומת הלב לטיב הקשר בין הסדרות המופיעות בחבילת הניחושים. כנקודת מוצא אפשר לחשוב על האפשרות הקיצונית של הימור על אותה הסדרה עצמה 28 פעמים, כלומר שליחה של 28 טבלאות משחק שבכולן מסומנים אותם שישה מספרים בדיוק, ועל משמעותה של טקטיקה כזו.

ממיליוני התוצאות האפשריות בהגרלה יש אך ורק תוצאה אחת שתקנה את הפרס הגדול לשחקן שחזר על אותו הניחוש שוב ושוב, לעומת שורה של תוצאות אפשריות שונות, אשר כל אחת מהן, לו תתקבל, תקנה את הפרס הגדול לשחקן שבחר למלא ניחושים השונים זה מזה. למי שמהמר על אותה סדרת מספרים 28 פעמים סיכוי נמוך פי 28 לקלוע לניחוש הנכון בהשוואה למי שמהמר על 28 סדרות שונות. עוד יש לציין כי מי שהימר על אותה הסדרה בכל הטבלאות ששלח, כל ניחושיו יהיו מוצלחים באותה המידה בדיוק, שהרי מדובר באותו הניחוש עצמו. אם יזכה בפרס כלשהו בגין ניחוש מספרים נכונים – יהיה זכאי לפרס זה 28 פעם.

באשר לטופס המשחק השיטתי, הניחושים הכלולים בו אמנם אינם זהים זה לזה, אולם מידת הדמיון ביניהם רבה. הסדרות במערך השיטתי עשויות כולן מאותן אבני בניין – אותם שמונה מספרים שנבחרו. הרכב המספרים של ניחוש אחד בטופס, זהה כמעט לחלוטין להרכב המספרים של ניחוש אחר באותו הטופס. לכל שישייה בטופס השיטתי יש חפיפה כמעט מוחלטת עם חלק משכנותיה, ומכנה משותף נרחב עם אחרות. מבחינת התמונה ההסתברותית, חלות על המכלול השיטתי (גם אם בצורה פחות דרמטית) אותן גזרות הקשורות בהימור מרובה על אותו ניחוש עצמו: סיכוי מופחת לזכייה ושותפות גורל בין הניחושים.

כדי לעמוד על טיבו של ההבדל בין המשחק השיטתי למשחק האקראי אפשר לחשוב על המקרה הפרטי של זכייה בפרס הגדול, כאשר הניחוש הנכון מופיע בין הסדרות הכלולות בטופס. אם ידוע כי ההרכב של ששת המספרים שעלו בגורל נמצא בין 28 הניחושים, מה היא כעת ההסתברות שבאותו טופס עצמו יימצא, נוסף על הניחוש המושלם, גם ניחוש של חמישה מספרים נכונים? לגבי טופס הכולל הרכבים שנבחרו אקראית, הסיכוי למצוא בין 27 הסדרות הנותרות סדרה המכילה חמישה מספרים נכונים אינו מושפע כלל מהידיעה כי בטופס נמצא הניחוש הנכון, ולפיכך נותר נמוך מאחד ל־1,000, (1/1290; וראו חישוב 6). ואולם, במקרה של טופס שיטתי, מרגע שנודע כי הניחוש הנכון כלול בהימור, הימצאות סדרה ובה חמישה מספרים נכונים על גבי אותו הטופס היא עניין ודאי לחלוטין. כל הרכב המופיע ברשימת הניחושים השיטתית חולק חמישה מספרים משותפים עם הרכבים אחרים ברשימה. מי שניחש נכונה את ששת המספרים הזוכים באמצעות טופס שיטתי של שמונה מספרים, ניחש אגב כך גם תריסר הרכבים המכילים חמישה מספרים נכונים ועוד 15 הרכבים המכילים ארבעה מספרים נכונים. באופן דומה, אם שלושה מבין שמונת המספרים שעליהם הימר המשתתף מופיעים בין השישה שעלו בגורל, הרי יש בידיו עשרה ניחושים שונים המכילים שלושה מספרים נכונים.

ממלא הטופס השיטתי דומה למהמר בקזינו, המניח את שתי הדסקיות על אותו המספר
צילום: אימג'בנק

זכייה המושגת באמצעות טופס שיטתי היא בהכרח זכייה מרובה, וזהו המקור להבדל המתגלה במישור ההסתברותי. ממלא הטופס השיטתי מניח ביצים רבות בסל אחד, בעוד ממלא הטופס האקראי מפזר אותן בסלים שונים. במשחק השיטתי תוצאה מסוימת אחת בהגרלה תקנה למנחש עשרה פרסים שונים, בעוד במשחק אקראי, עשר תוצאות שונות בהגרלה יקנו, כל אחת, פרס מסוים. כפועל יוצא, הסיכוי לתוצאה שפרס כלשהו בצדה גבוה פי עשרה במילוי אקראי. ההתקבצות של אירועי הזכייה הפוטנציאליים, המובנית לגרסה השיטתית של המשחק, כרוכה בהתכווצות ניכרת בהסתברות הכוללת להתגשמותם. תוצאות ההגרלה האפשריות המבשרות זכייה כספית נדירות פי כמה במשחק השיטתי.

במשחק השיטתי הצלחתו של כל ניחוש קשורה בהצלחת חבריו לטופס, בעוד במשחק אקראי מספר הקליעות בניחוש אחד הוא בלתי תלוי במספר הקליעות באחר. המִתאם החיובי בין מספר הקליעות שישיגו הסדרות השונות שעל גבי הטופס השיטתי, מתאם המוכתב על ידי הדמיון הרב בהרכבן, משמעו שמדובר בהימור מרוכז, הכרוך בהפחתה ניכרת של הסיכוי לפרס.

לשם המחשת המשמעות המעשית של הימור באמצעות טופס שיטתי, נפנה לנתוני האמת מאחת מהגרלות הלוטו הסדירות שעורך מפעל הפיס (מדובר בהגרלת הלוטו הארצית של מפעל הפיס מתאריך 10.12.2002). לקראת אותה הגרלה רכשו 30 לקוחות ברחבי הארץ טופס שיטתי שעליו סומנו 12 מספרים, טופס המכיל 924 ניחושים (ראו: חישוב 7), ועלותו 2032.80 ש"ח (במחיר של אז; מחיר ניחוש יחיד עמד אז על 2.20 ש"ח). בהתאם לצפוי מבחינה הסתברותית (הסיכוי לא לזכות בפרס כלשהו בשליחת טופס שיטתי שבו 12 מספרים הוא 73.22 אחוז), 24 מתוך 30 המנחשים הללו לא זכו להחזר ולו של שקל אחד בגין ההשקעה, כלומר מתוך כמעט 1,000 הניחושים ששלחו לא נמצא ניחוש כלשהו שהכיל יותר משני מספרים נכונים. כדי לקבל אמת מידה, נאמר כי במילוי אקראי של 924 ניחושים, ההסתברות לצאת מן ההגרלה ללא פרס כספי כלשהו היא 1 לֿ13,124,108,581,750,988 (ראו: חישוב 8) וההחזר הצפוי בגין פרסים מִשניים מגיע למאות רבות של שקלים. ואולם ראוי לציין כי המנחש היחיד שהצליח לקלוע לארבעה מבין ששת המספרים הזוכים גרף לכיסיו 28 מנות של הפרס הרביעי (בגין ארבעה מספרים נכונים), ו־224 מנות של הפרס החמישי (בגין שלושה מספרים נכונים), וזכה בסכום הגבוה בהרבה מהמחיר ששילם עבור הטופס.

יצוין כי במתכונת ההגרלה שאליה מתייחסים הנתונים, לאחר שכבר הועלו בגורל שישה מספרים מהטווח 1־45 לקביעת הניחוש הנכון, הועלה בגורל מספר שביעי ואחרון מבין 39 הנותרים, אשר שימש כ"מספר הנוסף". נוסף על הפרסים שהוענקו בגין ניחוש המכיל שישה, חמישה, ארבעה ושלושה מספרים נכונים, הוענק פרס שני עבור ניחוש המכיל חמישה מספרים נכונים וכן את המספר הנוסף, ופרס שישי ואחרון עבור ניחוש המכיל שני מספרים נכונים וכן את המספר הנוסף. הסיכוי של ניחוש יחיד לזכות בפרס כלשהו בהגרלה זו הוא כארבעה אחוזים, 0.03937.

אז איזו שיטה בעצם עדיפה?
צילום: אימג'בנק

לוטו שיטתי בעיני הקהל

כדי להבהיר את טבעה של הברירה בין טופס שיטתי לטופס אקראי, אפשר להציג את הדילמה הבאה: שוו בנפשכם שאתם מבקרים בקזינו וניצבים מול גלגל הרולטה. בידיכם שתי דסקיות שתוכלו להניח על שולחן ההימור לקראת הסיבוב הבא של הגלגל. האם תעדיפו להניח את שתי הדסקיות על אותו המספר או על שני מספרים שונים? ההימור המפוזר – על שני מספרים שונים, פותח יותר תרחישים פוטנציאליים של זכייה בפרס, בעוד ריכוז ההימור על מספר יחיד משמעו סיכוי נמוך פי שניים לפרס, אולם פרס שערכו כפול.

הממצא הכללי בסוגיה זו הוא, שבבחירה בין הגרלות (השוות זו לזו בערכן הכלכלי) יש נטייה לכיוון הסולידי: אנשים מעדיפים לפזר את ההשקעה, ובכך להגדיל את סיכויי הזכייה. מסתמן כי כאשר אנשים נשאלים במפורש באיזו הגרלה יעדיפו להשתתף, הנטייה הכללית היא להעדיף הגרלות שבהן מבנה הסיכויים דומה יותר לזה שבמשחק הלוטו הרגיל מאשר לזה שבמשחק השיטתי.

לאור נטייה זו, יש לצפות שקהל המנחשים יעדיף מערך הגרלה המציע מגוון הזדמנויות לזכייה כספית, כפי שאכן מופעל על ידי רשויות הלוטו, על פני מערך של מיעוט פרסים מרוכזים, כפי שמציע המשחק השיטתי. ואכן ממחקרי שוק שנעשו אפשר לראות כי הציבור מעדיף ריבוי ומגוון פרסים על פני מבנה פרסים ריכוזי וכי הגורם העיקרי המשפיע על הביקוש להגרלה, חוץ מהפרס הגדול, הוא כמות הפרסים המשניים.

הפרס הגדול הוא ללא ספק המניע המרכזי להשתתפות בהגרלה, ואין פלא שהוא משפיע על מידת האטרקטיביות שלה. ואולם ככל שהדברים נוגעים להשוואה בין המשחק השיטתי לבין מילוי אקראי, אין הבדל דרמטי בין שתי החלופות מבחינת גובה הזכייה המרבית. על פי מערך הפרסים הנהוג בהגרלה והפער הגדול בין גובה הפרס הראשון למשניים, הזכייה בגין טופס שיטתי שיכיל את הניחוש הנכון לא תהיה גבוהה אלא באחוזים בודדים (לכל היותר) מהזכייה בגין טופס רגיל שיכיל את הניחוש הנכון; המנחש שגרף לאחרונה מעל 27 מיליון שקלים באמצעות טופס שיטתי, זכה ב־26 מיליון מתוכם בגין הפרס הראשון, מיליון בגין השני, ועוד כ־72 אלף בגין פרסים נמוכים יותר.

ביקשנו להמשיל את ממלא הטופס השיטתי למהמר בקזינו, המניח את שתי דסקיות ההימור על אותו המספר. אולם כעת מתחיל להתברר כי ייתכן שהמשל אפילו עושה חסד עם לוטו שיטתי וכי לאמיתו של דבר גם מי שיעדיף את ההימור המרוכז ברולטה, ספק אם היה מעדיף את ההימור המרוכז הנגזר מהשימוש בלוטו שיטתי. ההימור המרוכז ברולטה מגדיל פי שניים את סכום הזכייה המרבי המונח בקופה, בעוד ההימור השיטתי בלוטו משפיע רק במעט על שיעור הזכייה המקסימלית שאפשר יהיה לגרוף. הפרס הגדול שמציע המשחק עומד במרכז תודעת המהמר ונושא השפעה מכרעת על יחסו להגרלה. שחקן הרולטה המפזר את דסקיות ההימור מוסיף לעצמו הזדמנויות זכייה אך נאלץ לוותר על הכפלת הסכום שעליו הוא משחק, ויתור שאיננו נדרש משחקן הלוטו המפזר את ניחושיו באמצעות טופס שאיננו שיטתי.

יש גם לשים לב כי בדוגמת הקזינו, כל זכייה כפולה תהיה שווה בערכה לכפל הזכייה הבודדת, בעוד במשחק הלוטו, זכייה כפולה אינה מקנה סכום כפול מזה שהייתה מקנה זכייה בודדת. על פי שיטת הפרסים הנהוגה בהגרלה הארצית, הסכום הכולל המוקצה לפרס כלשהו מחולק שווה בשווה בין כל הזכאים לו. אם יש זוכה אחד בלבד בפרס השני, הוא יקבל לידיו אותו הסכום בדיוק – כל הסכום שהוקצב לפרס השני, בין שהיה לו ניחוש יחיד המזכה בפרס או שני ניחושים נפרדים כאלו. במקרה של שותף אחד נוסף, יעלה שיעור הזכייה, הודות לזכאות הכפולה, ממחצית סכום הפרס לשני שלישים. ואולם גם אז שיעור העלייה בהיקף הזכייה (33 אחוז) איננו משתווה לשיעור העלייה בהיקף ההשקעה (100 אחוז). שחקן הרולטה המרכז את דסקיות ההימור על מספר אחד מוותר על הזדמנויות זכייה, אולם כל סכומי הזכייה הפוטנציאלים בהזדמנויות שוויתר עליהן מועתקים לקופת ההימור המרוכז, פיצוי שאיננו מובטח לשחקן הלוטו המרכז את ניחושיו באמצעות טופס שיטתי.

ואולם מה שעלול להיות החיסרון המשמעותי ביותר של ההימור המרוכז באמצעות טופס לוטו שיטתי בהשוואה להימורים מרוכזים אחרים, כמו בדוגמת הקזינו, נובע מהיחס הסובייקטיבי לזכייה מצטברת וטמון במִדרג הפרסים התלול המונהג בהגרלה הארצית. היחס של אנשים לרווחים מתאפיין בתועלת שולית פוחתת: כל מנת רווח נוספת המצטברת על גבי אחרות נמוכה בערכה הסובייקטיבי מקודמתה, כלומר אותה מנת רווח שווה בעינינו יותר ככל שהיא ראשונית ובלעדית ופחות כאשר היא מתקבלת כתוספת המשולבת בסכום כולל אחר. אם להשתמש במשל הרולטה, כדאי לחשוב לרגע על מצב שבו אחת משתי דסקיות ההימור היא דסקית זהב, אשר אם תונח על המספר הנכון תזכה את המהמר במיליון ש"ח, בעוד השנייה דסקית רגילה, אשר אם תונח על המספר הנכון תזכה את המהמר ב־100 ש"ח. האם גם בתנאים אלו יימצא מי שיעדיף לרכז את ההימור ולהניח את שתי הדסקיות על אותו המספר? והרי זה בעצם מה שעושה בפועל רוכש הטופס השיטתי. במערך הפרסים שנובע מהמשחק השיטתי, מקרים שונים של פרסים משניים לא רק מקובצים יחדיו, אלא אף מתגודדים במשותף בתוך תרחישי זכייה בפרסים מסדר גבוה יותר. פרס כספי של מאות אחדות – אשר ייראה זניח למדי אם יצורף לזכייה של מיליונים, יכול בהחלט לשמש מקור לחדווה מסוימת לו היה מגיע לבדו. יש להניח כי רוכשי הכרטיסים היו שמחים להותיר את תרחישי הזכייה הפוטנציאלים הללו מופרדים.

במבט מבוקר אם כן, מסתמנת האפשרות כי ההימור המרוכז בלוטו, כאשר הוא מפורש כהלכה, הוא בעצם עוד פחות אטרקטיבי (ביחס לחלופה המפוזרת) בהשוואה להימורים מרוכזים אחרים, כמו בדוגמת הקזינו. כלומר אם קיימת נטייה כללית להעדיף הימור מפוזר, הרי היא הייתה צריכה לבוא לידי ביטוי ביתר שאת בהקשר של בחירה בין לוטו רגיל ללוטו שיטתי. אלא שלשם כך דרוש תחילה זיהוי של המשחק השיטתי כהימור מרוכז, כלומר עמידה על טיבו המהותי של ההבדל בין שתי הגרסאות, הבחנה שככל הנראה איננה טריוויאלית.

החלופה של לוטו שיטתי המוצעת למשתתפי ההגרלה מעלה את הבעיה המתמטית של תלות בין מאורעות אל פני השטח של זירת הימור פומבית, אולם גיחתה של הבעיה איננה מוכרזת באופן מפורש, אלא טמונה במבנה הפנימי של מערך הניחושים, ועלולה להיעלם מעיני הלקוחות ומשיקול דעתם. מידת המורכבות הכרוכה בעמידה על המשמעות ההסתברותית של הדמיון בין הסדרות בהימור השיטתי עלולה לשבש את התרגום של העדפה עקרונית לכדי בחירה מעשית.

ד"ר דני הלמן מלמד באוניברסיטת תל־אביב.